- PROBABILITA’ E LEGGE DEL "TERZO" - 1^ parte

Al di là di ciò che si sente dire e che si è abituati a leggere, gli eventi casuali si evolvono rispettando poche ma fondamentali leggi. Una di queste è la cosiddetta "legge del terzo", che ricorre spessissimo negli scritti dei vari studiosi. Ma cos’è la legge del terzo e cosa stabilisce? In breve, essa stabilisce che in un ciclo teorico relativo alla combinazione cui si fa riferimento, l’intera rosa degli eventi si distribuisce in ragione di 2/3 "si" ed 1/3 "no". Nel secondo ciclo, l’insieme delle combinazioni facenti parte del gruppo di quelle assenti nel primo ciclo, rispetta anch’esso la legge del terzo, vale a dire che i 2/3 usciranno ed 1/3 no, e così via per i cicli successivi. Ciò avviene ineluttabilmente, fatte salve piccole fluttuazioni insignificanti ai fini globali. L’enunciazione della legge è estremamente semplice come abbiamo visto, eppure si tratta di un principio alla cui base c’è l’essenza del calcolo delle probabilità, materia abbastanza ostica e per certi versi non facile da comprendere appieno. Vediamo perché la legge cui abbiamo accennato ha "bisogno" del calcolo delle probabilità. Innanzitutto bisogna conoscere esattamente i valori di probabilità semplice, favorevole e contraria, dell’evento in esame. Conosciuti questi (in particolare quelli di probabilità contraria), bisogna poi conoscere il modo per calcolare la probabilità composta, cosa determinante ai fini della spiegazione matematica della legge del terzo. Rimandando magari ad una prossima serie di puntate dedicate espressamente alla matematica dell’"incertezza" i fondamentali del calcolo delle probabilità e del calcolo combinatorio, riferiamoci a cose scontate, che sono bagaglio culturale di tutti gli appassionati del gioco del Lotto. Le cose che seguono sono pertanto delle nozioni che non staremo a spiegare nel dettaglio. Prenderemo in esame la sorte dell’estratto semplice e dell’ambo secco, le combinazioni più care ai giocatori. Tutti sappiamo che il regolamento del gioco del Lotto prevede l’estrazione di 5 numeri senza reimbussolamento da una massa di 90. L’evento più semplice è quindi l’estratto, cioè azzeccare uno dei 5 numeri tirati fuori dall’urna. La probabilità favorevole di un evento si calcola tenendo conto di una frazione al cui numeratore si pongono i casi favorevoli ed al denominatore quelli possibili. Nel caso dell’estratto semplice sappiamo che i casi favorevoli sono 5 e quelli possibili 90. La probabilità semplice è quindi pari a 5/90, frazione che semplificata diventa 1/18. Se si gioca un numero per estratto su una ruota si ha una probabilità favorevole e 17 contrarie. La probabilità contraria è infatti pari a 17/18 (ovvero 85/90), dal momento che la somma delle due probabilità, favorevole e contraria, deve essere 1. Infatti:

Saliamo di livello e passiamo alla sorte dell’ambo secco. Innanzitutto dobbiamo conoscere il valore da inserire al denominatore della frazione che definisce la probabilità. Esso è pari a 4005, perché tante sono le combinazioni binarie che si formano con i 90 numeri singoli. Ora quanti ambi si formano con i 5 estratti di una qualsiasi estrazione? Tutti sappiamo che sono 10, quindi le frazioni che definiscono i valori di probabilità favorevole e contraria dell’ambo secco sono:

è prob. Favorevole

è prob. Contraria

Questi valori, sia quelli dell’estratto che quelli dell’ambo, si riferiscono alla probabilità che giocando un solo numero o un solo ambo lo si vinca nell’estrazione in cui lo si gioca. Poniamoci ora la seguente domanda: se scelgo un numero e lo gioco per 18 estrazioni consecutive che probabilità ho che questo numero esca in una qualsiasi di queste 18 estrazioni? Qui si passa dal concetto di probabilità semplice a quello di probabilità composta. Questa si calcola moltiplicando tra loro le varie probabilità semplici. Nel caso quindi dobbiamo calcolare che probabilità di verificarsi ha l’evento della NON estrazione dell’estratto nell’ambito di 18 estrazioni consecutive. In pratica bisogna moltiplicare per se stessa 18 volte la frazione 17/18; equivale a dire elevarla alla 18^ potenza:

E’ ovvio che la probabilità cercata sta nel complemento all’unità del valore appena trovato:

1 - 0,357417 = 0,642583

Scegliendo un numero qualsiasi e giocandolo 18 volte consecutive abbiamo circa 64 probabilità su 100 di vederlo sortire in una qualsiasi delle 18 estrazioni. Non a caso abbiamo scelto di calcolare la probabilità di sortita di un numero in 18 estrazioni. Questo perché 18 rappresenta l’inverso della frazione di probabilità favorevole dell’estratto semplice. Questa operazione ci indica quello che viene definito ritardo naturale, il ciclo teorico di frequenza della combinazione in esame, vale a dire l’intervallo entro il quale tutti i 90 numeri dovrebbero uscire dall’urna se il regolamento non prevedesse il reimbussolamento ad ogni estrazione di 5 numeri (infatti 5 x 18 = 90). Il ciclo teorico dell’estratto secco è quindi 18 estrazioni, mentre quello dell’ambo è 400,5 prove. Facciamo la stessa operazione con la probabilità che ha un ambo di sortire in un’estrazione qualsiasi di 400,5 consecutive:

1 - 0,367419 = 0,632581

La probabilità di veder sortire l’ambo scelto nell’ambito di 400,5 estrazioni è pari a circa il 63%. C’è una differenza di una unità percentuale rispetto a ciò che la matematica stabilisce per il ciclo dell’estratto. E’ una differenza che può sembrare insignificante ma che invece stabilisce che una certa diversità di comportamento deve esistere tra le due sorti considerate. Vedremo prossimamente.