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-QUADRATI E DIAGONALI-

teoria e soluzioni pratiche

Nel 1991 usciva nelle edicole un volumetto curato da Domenico Manna dal titolo "La Ciclometria – armonie e simmetrie nel gioco del Lotto", edito da "Totocorriere". Si trattava di un fascicolo in cui era contenuta l’essenza della Ciclometria, dai confusi e preziosi accenni di Fabarri alle figure inscritte nel cerchio ciclometrico da Ciro Vitale, fino ad arrivare all’introduzione di quella che Mimmo definì come la "vera" Ciclometria: la Goniometria numerica.

Con il passare degli anni quell’opera è diventata un vero e proprio classico della materia, se è vero com’è vero che da parte degli appassionati che ne hanno sentito parlare è ancora richiesta.

Una delle parti più interessanti l’autore la dedicò all’esposizione di ciò che denominò come "Teorema della Diagonale" (in seguito lo indicheremo brevemente con "TdG"), uno dei cardini della geometrizzazione degli eventi. Ne abbiamo anche parlato attraverso il forum, esponendo una nostra applicazione molto generosa quanto ad esiti.

Ma vediamo di cosa tratta questo Teorema.

Innanzitutto bisogna portarsi un attimo indietro e spiegare, a chi non lo sapesse, cosa si intende per "Triplo Differenziale" (in seguito abbreviato con "TD"). All’uopo prendiamo ad esempio i quattro numeri 5-42-46-87. Poniamoli in quadrato, disponendoli in senso crescente secondo l’ordine orario:

A questo punto si calcolano le distanze tra i vertici posti ai lati orizzontali, verticali e diagonali:

ORIZZONTALI	VERTICALI	DIAGONALI
87 – 5 = distanza 8	87 – 46 = distanza 41	87 – 42 = distanza 45
46 – 42 = distanza 4	42 – 5 = distanza 37	46 – 5 = distanza 41

A questo punto, se provassimo a calcolare le differenze intercorrenti tra i due valori delle tre coppie fin qui ottenute otterremmo un unico valore, che viene definito Triplo Differenziale. Abbiamo infatti:

ORIZZONTALI:	8 – 4=	4;
VERTICALI:	41 – 37 =	4;
DIAGONALI:	45 – 41 =	4;

Fin qui nulla di strano, si tratta di una caratteristica di particolari formazioni quadratiche portata alla luce dal grande Fabarri moltissimi anni fa. Essa rappresenta il parametro sul quale il Manna si basò per evidenziare il suo "TdG". Ma andiamo con ordine.

Abbiamo appena detto che la caratteristica è propria di "particolari" formazioni quadratiche. Non di tutte quindi. Allora quali particolarità devono possedere queste formazioni affinché si abbia la certezza che il differenziale ultimo sia uguale nei tre casi? Innanzitutto c’è bisogno che tra due dei quattro numeri che compongono il "quadrato" intercorra la differenza 45. Non solo. Questi due numeri, posti i quattro in senso crescente (o decrescente, è la stessa cosa), devono apparire ai vertici di una delle due diagonali. Se preferite, potete disporre in riga in senso crescente i quattro numeri e verificare che i due che hanno differenza 45 compaiano al 1° e 3° posto oppure al 2° ed al 4°. Nel caso proposto ad esempio, abbiamo, infatti:

I due numeri "diametrali", come vedete, compaiono in diagonale e il "TD" si verifica (lo abbiamo calcolato, ed è pari a 4). Semplificando la cosa, ponendo i quattro numeri in serie crescente:

5-42-46-87

Come vedete, i numeri della coppia a differenza 45 appaiono al 2° e al 4° posto.

Dunque in mancanza di questi requisiti, qualsiasi fossero i quattro numeri considerati, non si potrebbe riscontrare la caratteristica del "TD". Ciò lo si potrebbe dimostrare facilmente con l’uso dell’algebra, ma evitiamo per non "appesantire" lo scritto.

Riprendiamo i quattro numeri presi ad esempio e proviamo ad effettuare l’operazione contraria: sommare al posto di sottrarre:

ORIZZONTALI	VERTICALI	DIAGONALI
87 + 5 = somma 2	87 + 46 = somma 43	87 + 42 = somma 39
46 + 42 = somma 88	42 + 5 = somma 47	46 + 5 = somma 51

Alla stregua di quanto fatto per il quadro delle distanze, sommiamo le tre coppie parziali:

ORIZZONTALI:	2 + 88 =	90;
VERTICALI:	43 + 47 =	90;
DIAGONALI:	39 + 51 =	90.

Anche in questo caso otteniamo un unico valore, che Fabarri denominò "Triplo Sommativo" (per brevità nel seguito lo indicheremo con l’abbreviazione "TS"). In pratica si tratta di ciò che in seguito gli esperti dell’operazione di "quadratura" avrebbero poi ridenominato come "somma delle somme". Ma il "TS", al contrario del "TD", si verifica con qualsiasi serie di quattro numeri prendessimo in considerazione (anche qui è semplice dimostrarlo algebricamente). Allora perché lo abbiamo fatto oggetto di attenzione in questo caso? La risposta è: avete notato che il "TS" dei quattro elementi presi ad esempio è pari a 90? Il grande Manna si imbatté casualmente in una formazione con queste due caratteristiche (una diagonale 45 e il "TS" pari a 90, il cui totale, chiaramente, risulta 45) per studiarne le peculiarità e per giungere alla conclusione che:

"Una figura quadrangolare è armonica quando la somma delle somme dei lati orizzontali oppure verticali o delle diagonali, più la misura di una delle due diagonali, fa in totale 45".

Nacque così il Teorema della Diagonale, che riscosse molti consensi tra i ciclometristi dell’epoca (siamo nel 1983), tra i quali il dr. Antonino Crupi che colse anche l’occasione per compilare un listato che girava con il famigerato Commodore 64.

La formulazione del TdG suggerisce la possibilità di costruire quadrati armonici anche non conoscendo tutti e 4 i vertici. E’ ciò che vedremo in seguito.

Antonio FIACCO